Содержание
Расчет простой балки на прочность и жесткость
Инструкция к программе
Программа написана на языке PHP и предназначена для использования студентами строительных вузов при выполнении расчетно-графической работы (РГР) "Расчет балки на прочность и жесткость". Все расчеты выполняются Online, что освобождает студентов от необходимости посещать компьютерный класс.
При использовании программы студентами машиностроительных вузов следует заменить следующие термины: нормативное сопротивление Rn – на предельное напряжение, расчетное сопротивление R – на допускаемое напряжение, коэффициент надежности по материалу γ – на коэффициент запаса прочности, коэффициент надежности по нагрузке γf положить равным единице. Кроме того, сечение стальной балки подбирается по предельному состоянию всего сечения, а в машиностроении основным методом расчета на прочность является метод допускаемых напряжений.
Подробно методика расчета, реализованная в данной программе, изложена в следующих методических указаниях:
"Расчет балки на прочность" Скачать
"Расчет балки на жесткость" Скачать
Порядок выполнения расчетов
Расчет начинаем с пункта "Исходные данные". Начало отсчета располагается на левом конце балки, ось x направлена вправо, ось y – вниз. Сосредоточенные силы, включая опорные реакции, и распределенные нагрузки считаются положительными, если направлены вниз. Момент пары сил считается положительным, если направлен по часовой стрелке. Вводить следует значения нормативных нагрузок. Так как программа используется в учебных целях, то число нагрузок любого типа должно быть не более 10!
Пункты главного меню, выделенные серым цветом, неактивны на соответствующем этапе вычислений. При нажатии на них откравается окно с указанием того, что нужно сделать для продолжения расчетов.
Исходные данные расположены в следующем порядке:
– тип балки: 0 – шарнирно опертая, 1 – с заделкой;
– длина балки;
– для шарнирно опертой балки координаты опор;
– для балки с заделкой указание на то, левый или правый конец защемлен;
– коэффициент надежности по нагрузке (используется при расчете балки на прочность);
– число сосредоточенных сил;
– число пар сил;
– число распределенных нагрузок;
– для каждой сосредоточенной силы – величина и координата точки приложения;
– для каждой пары сил – величина и координата сечения, в котором она действует;
– для каждой распределенной нагрузки – интенсивность нагрузки в начале и в конце участка, на котором она действует, и координаты концов этого участка.
В качестве разделителя целой и дробной частей вещественного числа используется точка.
Распределенные нагрузки предполагаются распределенными по линейному закону. Если какой-либо тип нагрузок отсутствует, то следует положить число этих нагрузок равным нулю. После ввода исходных данных нажимаем на ссылку "Продолжить расчет" и переходим на вкладку "Эпюры Q(x) и M(x)" для нахождения опорных реакций, построения эпюр поперечной силы и изгибающего момента и нахождения Mmax.
Далее можно выполнить подбор сечения двутавровой балки (нормативное сопротивление и коэффициент надежности по материалу вводятся по дополнительному запросу) и выполнить расчет прочности в заданном сечении. Затем перейти к нахождению прогибов и углов поворота сечений. При этом следует задать значение модуля упругости. Величина момента инерции сечения либо задается (в этом случае подбор сечения можно опустить), либо используется момент инерции подобранного ранее двутавра.
Результаты расчетов выдаются на экран монитора. Нажимая правую кнопку мышки и выбирая пункт "Печать" (в браузерах Google Chrome, Internet Explorer, Yandex), можно либо распечатать результаты на принтере, либо сохранить их на компьютере пользователя в файле формата pdf. Можно также выделить часть текста, скопировать и вставить в любой редактор текстов (в Word выбрать выравнивание по левому краю). Вкладка "Полный расчет" становится доступной после выполнения всех предыдущих этапов и выводит на экран результаты расчетов по всем этим этапам.
Значения поперечной силы Q(x), изгибающего момента M(x), прогибов v(x) и углов поворота сечений φ(x) выдаются в сечениях, отстоящих друг от друга на расстоянии L/10, где L – длина балки.
Кроме того, в число расчетных сечений включаются те, в которых действуют сосредоточенные нагрузки, включая опорные реакции (при этом искомые величины находятся непосредственно слева и справа от этих сечений) и сечения, в которых равна нулю поперечная сила. Имеется возможность найти значения этих величин в произвольном сечении.
Бланк с РГР, рассмотренной в приведенных выше методичках.
Данные из этого бланка вводятся в поля ввода программы по умолчанию. Контроль за корректностью вводимых данных возложен на пользователя.
В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.
Что такое прогиб балки?
Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).
Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.
ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.
Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.
Метод начальных параметров
Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)
Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:
- в опорах прогибы равны нулю;
- в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.
Расчет прогибов балки
Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:
Реакции опор
Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.
Система координат
Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):
Распределенная нагрузка
Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.
Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:
То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:
Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.
Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:
Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:
Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:
Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:
Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. Также учитывается угол поворота поперечного сечения в начале системы координат, причем угол поворота дополнительно умножается на расстояние от рассматриваемого сечения до начала координат:
Учет внешней нагрузки
И, наконец, нужно учесть внешнюю нагрузку, но только ту, которая находится левее рассматриваемого сечения C. Здесь есть несколько особенностей:
- Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки, которые направленны вверх, то есть совпадают с направлением оси y, в уравнении записываются со знаком «плюс». Если они направленны наоборот, соответственно, со знаком «минус»:
- Моменты, направленные по часовой стрелке – положительные, против часовой стрелки – отрицательные:
- Все сосредоточенные моменты нужно умножать дробь:
[ Mcdot frac < < x >^ < 2 >>< 2 >]
- Все сосредоточенные силы нужно умножать дробь:
[ Fcdot frac < < x >^ < 3 >>< 6 >]
- Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:
Формулы прогибов
С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:
В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.
Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:
Выражаем угол поворота:
Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:
Вычисление прогиба
Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:
Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.
Балка – это стержень или брус, работающий преимущественно на изгиб. Статически определимые балки разделяются на следующие типы (рис. 1.8):
простые балки – балки на двух опорах по концам;
консольные – балки на двух опорах со свешивающимися концами или консолями;
консоли – балки, защемлённые одним концом;
шарнирно-консольные балки, составленные из двух или нескольких последовательно расположенных балок, концы которых связаны между собой шарнирами.
Рис. 1.8. Различные типы балок: а – простая балка; б – консольная балка; в – консоль; г – шарнирно-консольная балка
Расстановка шарниров в многопролётной балке должна быть произведена так, чтобы она была статически определимой и геометрически неизменяемой:
в каждом пролёте должно быть размещено не более двух шарниров;
пролёты с двумя шарнирами должны быть размещены не менее чем через пролёт;
пролёты с одним шарниром могут следовать один за другим, если в системе есть одна неподвижная балка.
Консоль, простая балка и балка с консолями – это геометрически неизменяемые и статически определимые системы.
Длина консоли называется вылетом консоли, а длина простой балки – пролётом.
1.6. Порядок расчёта шарнирно-консольных балок
Подсчитывают степень свободы системы.
Проводят анализ геометрической неизменяемости системы. Изображают схему взаимодействия элементов шарнирно-консольной балки, то есть поэтажную схему, для чего мысленно разъединяют элементы балки, разделив их на основные или главные, которые могут самостоятельно воспринимать внешнюю нагрузку, и второстепенные или присоединённые, которые не могут работать самостоятельно, а должны опираться на основные балки в соответствии с рисунком 9.
Аналитический расчёт шарнирно-консольных балок начинают со второстепенной балки самого верхнего этажа. Построив для верхней балки эпюры изгибающихся моментов и поперечных сил, прикладывают реакцию опоры на нижележащую балку с обратным направлением и рассчитывают её. Последней рассчитывается опорная балка.
Признаки основной и второстепенной частей:
если разрушается основная часть, то разрушается вся система;
при разрушении второстепенной части, основная или главная остаётся без изменения.
Рис. 1.9. Поэтажные схемы шарнирно-консольных балок
Контрольные вопросы
Почему недопустимы системы, близкие к мгновенно изменяемым?
Для чего проводится кинематический анализ систем?
Как проверить статическую определимость и геометрическую неизменяемость многопролетной статически определимой балки?
2. Расчёт сооружений на подвижную нагрузку
При расчёте сооружения на подвижную нагрузку: движущийся поезд, автомобиль – пользуются линиями влияния (лв).
Линия влияния – это график, показывающий закон изменения того или иного усилия: реакции, момента, поперечной силы – в определённом или фиксированном сечении сооружения при перемещении по его длине груза F=1.
Ордината линии влияния показывает величину усилия, для которого построена ЛВ, когда груз F=1 стоит над этой ординатой на сооружении.
Ординаты линий влияния R и Q безразмерны, а линии влияния М выражаются в метрах.
Сравнение линий влияния и эпюр какого-либо усилия J приведены в табл. 2.1.
Сравнение линии влияния и эпюр
Представлены расчетные схемы, различные виды действующих нагрузок, эпюры сил, отображающие характер изменения касательных напряжений, эпюры изгибающих моментов, отображающие характер изменения нормальных напряжений, возникающих в поперечном сечении балки, а также формулы для определения опорных реакций, действующего изгибающего момента, максимального изгибающего момента, формулы для определения прогиба балки на расстоянии х от начала балки и формулы для определения максимального прогиба балки, а также формулы для определения тангенса угла поворота поперечного сечения на опорах и на концах – для консольных балок. Классификация производилась не по действующим нагрузкам, а по виду опор балки. В данном разделе представлены статически определимые балки.
Ось х , относительно которой производятся расчеты изгибающего момента и прогиба, соответствует продольной оси, проходящей через центр тяжести поперечных сечений балки. Значение момента инерции I следует определять относительно оси z .
Если в таблицах отсутствует формула для определения прогиба на каком-то из участков балки (из-за чрезмерной длины формулы), то опять же ее можно вывести, дважды должным образом проинтегрировав уравнение изгибающего момента, разделив результат на EI и добавив к этому результат интегрирования угла поворота.
В общем виде уравнение для определения углов поворота выглядит так:
θ х = – θ A + Мх/EI + Ax 2 /2EI – qx 3 /6ЕI
например, для шарнирной балки, к которой приложена сосредоточенная нагрузка (таблица 1, №1.1, момент и распределенная нагрузка осутствуют) на участке от начала балки до точки приложения силы (0 1. БАЛКА НА ДВУХ ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ
2. КОНСОЛЬНАЯ БАЛКА
3. БАЛКА НА ШАРНИРНЫХ ОПОРАХ С КОНСОЛЯМИ
Для расчета балок первым делом необходимо определить усилия, возникающие в конструкциях. В данном разделе показано, как находить усилия, опорные реакции, прогибы и углы поворота в различных изгибаемых конструкциях. Для самых распространенных из них вы можете воспользоваться онлайн расчетом. Для редких – приведены все формулы определения необходимых значений.
Онлайн расчет балки на двух опорах (калькулятор).
Оранжевые ячейки – максимальные значения.
Онлайн расчет консольной балки (калькулятор).
Приведен расчет на момент, прогиб и опорные реакции от сосредоточенной и распределнной силы.
Синие ячейки – ввод данных. (Белые ячейки – ввод координаты для определения промежуточного итога).
Зеленые ячейки – расчетные, промежуточный итог.
Оранжевые ячейки – максимальные значения.
Расчет однопролетной балки на двух шарнирных опорах.
Рис.1 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке
Рис.2 Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух сосредоточенных нагрузках
Рис.3 Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке
Рис4. Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке
Рис5. Расчет балки на двух шарнирных опорах при действии изгибающего момента
Расчет балок с жестким защемлением на двух опорах
Рис6. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной сосредоточенной нагрузке
Рис7. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при двух сосредоточенных нагрузках
Рис8. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке
Рис9. Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке
Рис10.Расчет балки с жестким защемлением на опорах при действии изгибающего момента
Расчет консольных балок
Рис11. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной сосредоточенной нагрузке
Рис12. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной равномерно-распределенной нагрузке
Рис13. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной неравномерно-распределенной нагрузке
Рис14. Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при действии изгибающего момента
Расчет двухпролетных балок
Рис15. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной сосредоточенной нагрузке
Рис16. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной равномерно-распределенной нагрузке
Рис17. Расчет двухпролетной балки с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке
Шарнирно-консольная статически определимая балка – это геометрически неизменяемая статически определимая система, составленная из простых и консольных балок , соединенных между собой шарнирами.
Преимущества: Изгибающие моменты в сечениях таких балок меньше , чем в сечениях простых балок, перекрывающих такой же пролет (вопросы экономичности при подборе сечения); изменение температуры не оказывает такого существенного напряжения, как в неразрезных балках.
Недостатки: Наличие шарниров усложняет изготовление и монтаж таких балок, а также обусловливает перелом упругой линии в местах установки шарниров (толчки, удары); обрушение шарнирной балки в каком — то пролете может вызвать разрушение всей конструкции в целом.
Расчет многопролетной статически определимой шарнирно- консольной балки начинается с проверки геометрической неизменяемости и статической определимости балки.
Далее составляют схему взаимодействия (этажную схему ). При составлении схемы взаимодействия различают три вида простых балок: подвесная, передаточная и основная . Подвесная балка не имеет своих опор и крепится к соседним балкам шарнирами . Передаточная балка имеет одну опору и крепится к соседней балке шарниром . Основная балка имеет две собственных опоры или одно жесткое защемление.
Чтобы составить этажную схему , шарниры заменяют шарнирными опорами. Таким образом, между шарнирами образуется самостоятельная статически определимая балка. При этом следует помнить, что балка (статически определимая) опирается на две шарнирные опоры.
В шарнирно-консольных балках чередование шарниров принимается не случайно . В балках 1-го типа (балки Гербера ) шарниры располагаются попарно через пролет . В таких балках сначала рассчитывают подвесные балки, затем — основные. Давление от подвесной балки передается на основную в виде опорной реакции, но имеет противоположное направление.
В балках 2-го типа (балки Дингера ) шарниры располагаются в каждом пролете по одному, кроме первого. В таких балках расчет начинается с крайней передаточной балки и заканчивается основной.
Давление от вышележащей балки передается на нижележащую в виде опорной реакции и имеет противоположное направление . Для каждой простой балки строят эпюры Q и М по правилам сопротивления материалов, после чего под расчетной схемой балки на одной оси располагают эпюры поперечных сил всех простых балок, на другой оси — эпюры изгибающих моментов и получают общие для всей балки эпюры Q и М.
Расчет подобных балок см. в рубрике «Расчет статически определимой многопролетной балки»
В отличие от консольных балок, при расчете балок на двух шарнирных опорах необходимо сначала определить опорные реакции из уравнений статики, так как и в левую, и в правую отсеченные части для любого сечения, расположенного между опорами, попадает соответствующая реакция.
Для плоской системы число уравнений статики в общем случае равно трем. Если балка загружена только вертикальными нагрузками, то горизонтальная реакция шарнирно-неподвижной опоры равна нулю, и одно из уравнений равновесия ( F ix = 0) обращается в тождество. Таким образом, для определения реакций в опорах шарнирной балки используются два уравнения статики:
Условие F iy = 0 используется для проверки вычисленных значений опорных реакций.
Пример 5. Построить эпюры Q y и M x для балки с шарнирным опиранием (рис.8).
1. Вычисляем реакции опор.
В отличие от консольных балок здесь известны обе опорные реакции, поэтому для любого сечения можно рассматривать как левую, так и правую отсеченную часть.
3. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.
Строим эпюру Q y .
4. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.
Строим эпюру M x
Пример 6. Построить эпюры Q y и M x для балки на двух опорах с консолью (рис.9,а)
1. Вычисляем опорные реакции.
Во втором уравнении равновесия (впрочем, как и в первом) момент от распределенной нагрузки q вычислен без разбиения ее на две части – слева и справа от опоры В, то есть определена равнодействующая нагрузки q – q 3, ее положение (в середине участка с распределенной нагрузкой), что позволяет определить плечо равнодействующей относительно опоры В и направление создаваемого ею момента. В то же время можно было в уравнении равновесия учитывать отдельно части нагрузки q , приложенные слева и справа от опоры В; при этом второе уравнение равновесия имеет вид:
Вычисленное из этого уравнения значение реакции R A , разумеется, совпадает с полученным ранее.
2. Намечаем характерные сечения.
3. Вычисляем поперечную силу и изгибающий момент в характерных сечениях.
Из рассмотрения левой отсеченной части:
Для сечений 5-7 удобнее рассматривать правую отсеченную часть:
По вычисленным значениям строим эпюры Q y и M x (рис.9,б,в).
1.11. Правила контроля эпюр Q у И M x.
Дифференциальные зависимости между Q y определяют ряд закономерностей, которым подчиняются эпюры Q y и M x .
1. Эпюра Q y является прямолинейной на всех участках; эпюра M x – криволинейная (квадратная парабола) на участке под равномерно распределенной нагрузкой, причем, выпуклость кривой всегда обращена навстречу нагрузке q, и прямолинейная на всех остальных участках.
2. Под точкой приложения сосредоточенной силы (реакции) на эпюре Q y обязательно должен быть скачок на величину этой силы (реакции). Аналогично, под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре M x обязателен скачок на величину момента.
3. Если на участке под распределенной нагрузкой эпюра Q y пересекает ось (Q y = 0), то эпюра M x в этом сечении имеет экстремум.
4. На участках с поперечной силой одного знака эпюра M x имеет одинаковую монотонность. Так, при Q y > 0 эпюра M x возрастает слева направо; при Q y
