Как начертить правильный шестиугольник с помощью циркуля

Урок 35. Геометрия 9 класс

Конспект урока "Построение правильных многоугольников"

На этом уроке мы рассмотрим способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. А также изобразим правильный многоугольник графически.

Для начала давайте вспомним определение правильного многоугольника. Итак, правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Для выполнения построений мы используем циркуль и линейку.

– построить дугу окружности,

– отложить на прямой отрезок, равный данному.

– построить прямую линию,

– построить отрезок, соединяющий две точки,

– найти точку пересечения двух прямых.

Ранее мы с вами уже рассматривали построения правильного треугольника и четырехугольника, т.е. квадрата.

Давайте рассмотрим, каким образом можно с помощью циркуля и линейки построить правильный треугольник и правильный четырехугольник, вписанные в окружность.

Задача 1. Вписать в заданную окружность правильный треугольник

Построение. Пусть задана окружность с центром О. Проведем произвольный диаметр BD окружности. Построим прямую l, являющуюся серединным перпендикуляром к радиусу OD. Середину радиуса ОD обозначим точкой К. Отметим точки А и C – пересечения прямой l с окружностью. И построим отрезки BA и BC. Треугольник ABC – правильный.

В Тогда Отсюда, .

Значит,

Задача 2. Вписать в заданную окружность правильный четырехугольник.

Построение. Пусть задана окружность с центром О. Построим диаметр AC. Затем построим диаметр BD перпендикулярный диаметру AC. Точки А, C и B, D – точки пересечения диаметров с окружностью. И построим отрезки АB, BC, CD и АD. Четырехугольник ABCD – правильный.

Т.к. Т.к. Т.к. Т.к. Следовательно, – квадрат.

Значит, – правильный четырехугольник.

Теперь давайте рассмотрим построения правильных n-угольников при n>4. Обычно для построения таких n-угольников используется окружность, описанная около многоугольника.

Задача 3. Построить правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.

Построение. Так как в правильном шестиугольнике сторона а равна радиусу, то достаточно последовательно отложить от одной точки окружности 6 радиусов-хорд. Пусть МN – заданный отрезок. Построим окружность с произвольным центром О и радиуса MN. Отметим на этой окружности произвольную точку А. Затем, не меняя раствора циркуля, последовательно от этой точки А будем делать на окружности засечки, пока последняя засечка не совпадет с взятой первоначально точкой А. Отметим точки B, C, D, Е и F. Теперь соединим последовательно построенные точки отрезками. Получим искомый правильный шестиугольник ABCD.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Все углы шестиугольника будут равны, так как опираются на дуги, состоящие из четырех равных меньших дуг.

Для построения правильных многоугольников часто используется следующая задача: дан правильный n-угольник. Построить правильный 2n-угольник.

Задача 4. Дан правильный шестиугольник. Построить правильный двенадцатиугольник.

Пусть ABCDEF – данный правильный шестиугольник. Опишем около него окружность.

1. 2. Окружность .

3. – серединные

перпендикуляры к .

4.

.

5. – правильный двенадцатиугольник.

Применяя указанный способ, можно с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правильных многоугольников, если построен один из них. Например, построив правильный четырехугольник, т.е. квадрат, и пользуясь задачей 4, можно построить правильный восьмиугольник, затем правильный шестнадцати-угольник и вообще правильный 2 k угольник, где k – любое целое число, большее 2.

Замечание. Рассмотренные примеры показывают, что многие правильные многоугольники могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Но важно заметить, что не все правильные многоугольники могут быть построены таким образом.

С давних времен построению правильных многоугольников математики уделяли большое внимание. Древние греки умели строить правильные треугольники, четырехугольники, пятиугольники. А также многоугольники, получаемые удвоением их сторон, шестиугольники, восьмиугольники, десятиугольники и т.д. Далее дело зашло в тупик. И только 2000 лет спустя великий немецкий математик 17 века Карл Гаусс, которого называли «королем математики», решил эту математическую проблему. Будучи девятнадцати летним юношей, он доказал, что можно построить правильный семнадцати-угольник, а вот семиугольник, девятиугольник, одиннадцатиугольник, тринадцати-угольник циркулем и линейкой построить нельзя. Задача о построении правильного семнадцати-угольника была самым первым его научным открытием.

Подведем итоги урока.

Сегодня мы рассмотрели способы построения некоторых правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Научились строить правильные треугольник и четырехугольник, вписанные в окружность. А также выполнили задачу на построение правильного многоугольника по заданному отрезку, и задачу на построение правильного 2n-угольника по заданному n-угольнику.

Деление окружности на равные части и по­строение правильных вписанных многоуголь­ников можно выполнить как циркулем, так и с помощью угольников и рейсшины.

Деление окружности на четыре равные части и построение пра­вильного вписанного четырех­угольника. Две взаимно перпендикулярные центровые линии делят окружность на четыре равные части (рис. 115, а). Соединив точки пе­ресечения этих линий с окружностью прямы­ми, получают правильный вписанный четырех­угольник.

Деление окружности на восемь равных частей и построение пра­вильного вписанного восьмиуголь­ника. Две взаимно перпендикулярные линии, проведенные под углом 45° к центровым ли­ниям с помощью угольника с углами 45, 45 и 90° и рейсшины (рис. 115, б), вместе с центро­выми линиями разделят окружность на восемь равных частей.

Деление окружности на восемь равных час­тей можно выполнить циркулем. Для этого из точек 1 и 3 (точки пересечения центровых линий с окружностью) произвольным радиусом делаются засечки до взаимного пересечения, тем же радиусом делают две засечки из точек 3 и 5 (рис. 115, в). Через точки пересечения засечек и центр окружности проводят прямые линии до пересечения с окружностью в точках 2, 4, 6, 8.

Если полученные восемь точек соединить последовательно прямыми линиями, то полу­чится правильный вписанный восьмиугольник (рис. 115, в).

Деление окружности на три рав­ные части и построение правиль­ного вписанного треугольника вы­полняют с помощью циркуля или угольника с углами 30, 60 и 90° и рейсшины.

При делении окружности циркулем на три равные части из любой точки окружности, на­пример из точки Л пересечения центровых ли­ний с окружностью (рис. 116, а и б), проводят дугу радиусом R, равным радиусу данной ок­ружности, получают точки 1 и 2. Третья точка деления (точка 3) будет находиться на про­тивоположном конце диаметра, проходящего через точку Л. Последовательно соединив точ­ки 1, 2 и 3, получают правильный вписанный треугольник. При построении правильного впи­санного треугольника, если задана одна из его вершин, например точка 1, находят точку А. Для этого через заданную точку 1 проводят диаметр (рис. 116, в). Точка А будет находить­ся на противоположном конце этого диаметра. Затем проводят дугу радиусом R равным ра­диусу данной окружности, получают точки 2 и 3.

При делении окружности на три равные час­ти с помощью угольника и рейсшины через точку 1 под углом 60° проводят две прямые линии до пересечения с окружностью в точках 2 и 3 (рис. 117, а, б), точки 2 и 3 соединяют и получают правильный вписанный треугольник (рис. 117, в).

Деление окружности на шесть равных частей и построение пра­вильного вписанного шестиуголь­ника выполняют с помощью угольника с уг­лами 30, 60 и 90° и рейсшины или циркуля. При делении окружности на шесть равных частей циркулем из двух концов одного диа­метра радиусом, равным радиусу данной окруж­ности, проводят дуги до пересечения с окруж­ностью в точках 2, 6 и 3, 5 (рис. 118). Последовательно соединив полученные точки, полу­чают правильный вписанный шестиугольник. Деление окружности на шесть равных час-1ен и построение правильного вписанного шестиугольника с помощью угольника и рейс­шины показано на рис. 119 и 120. Деление окружности на двенад­цать равных частей и построение правильного вписанного двенад­цатиугольника выполняют с помощью угольника с углами 30, 60 и 90° и рейсшины или циркуля.

При делении окружности циркулем из четы­рех концов двух взаимно перпендикулярных диаметров окружности проводят радиусом, рав­ным радиусу данной окружности, дуги до пере­сечения с окружностью (рис. 121). Соединив по­лученные точки, получают двенадцатиугольник.

При построении двенадцатиугольника с по­мощью угольника и рейсшины точки деления строят, как показано на рис. 119 и 120.

Деление окружности на пять и десять равных частей и построе­ние правильного вписанного пяти­угольника и десятиугольника пока­зано на рис. 122.

Половину любого диаметра (радиус) делят пополам (рис. 122, а), получают точку А. Из точки А, как из центра, проводят дугу радиу­сом, равным расстоянию от точки А до точки 1, до пересечения со второй половиной этого диаметра, в точке В (рис. 122, б). Отрезок 1В равен хорде, стягивающей дугу, длина которой равна 1 /₅ длины окружности. Делая засечки на окружности (рис. 122, в) радиусом R, равным отрезку 1В, делят окруж­ность на пять равных частей. Начальную точку 1 выбирают в зависимости от расположения пятиугольника. Из точки / строят точки 2 и 5 (рис. 122, в), затем из точки 2 строят точку 3, а из точки 5 строят точку 4. Расстояние от точки 3 до точки 4 проверяют циркулем; если расстояние между точками 3 и 4 равно отрезку 1В, то построения были выполнены точно. Нельзя выполнять засечки последовательно, в одну сторону, так как происходит набегание ошибок и последняя сторона пятиугольника получается перекошенной. Последовательно соединив найденные точки, получают пяти­угольник (рис. 122, г).

Деление окружности на десять равных час­тей выполняют аналогично делению окруж­ности на пять равных частей (рис. 122), но сначала делят окружность на пять частей, на­чиная построение из точки /, а затем из точ­ки 6, находящейся на противоположном конце диаметра (рис. 123, а). Соединив последова­тельно все точки, получают правильный впи­санный десятиугольник (рис. 123, б).

Деление окружности на семь и четырнадцать равных частей и по­строение правильного вписанного семиугольника и четырнадцатиугольника показано на рис. 124 и 125.

Из любой точки окружности, например точ­ки Л, радиусом заданной окружности проводят дугу (рис. 124, а) до пересечения с окруж­ностью в точках В и D. Соединим точки В и D прямой. Половина полученного отрезка (в данном случае отрезок ВС) будет равна хорде, которая стягивает дугу, составляющую 1 /₇ дли­ны окружности. Радиусом, равным отрезку ВС, делают засечки на окружности в последова­тельности, показанной на рис. 124, б. Соединив последовательно все точки, получают правиль­ный вписанный семиугольник (рис. 124, в).

Деление окружности на четырнадцать рав­ных частей выполняется делением окружности на семь равных частей два раза от двух точек (рис. 125, а).

Сначала окружность делится на семь рав­ных частей от точки /, затем то же построение выполняется от точки 8. Построенные точки соединяют последовательно прямыми линиями и получают правильный вписанный четырна-дцатиугольник (рис. 125, б).

СОПРЯЖЕНИЯ

Рассматривая детали, видим, что в их конст­рукции часто одна поверхность переходит в другую. Обычно эти переходы делают плав­ными, что повышает прочность деталей и де­лает их более удобными в работе. На чертеже поверхности изображаются линиями, которые также плавно переходят одна в другую.

На рис. 126, а изображена деталь, в которой плавные переходы одних плоскостей в другие представляют собой цилиндрические поверхнос­ти. На чертеже (рис. 126, б) эти плоскости изо­бражены прямыми линиями, а цилиндрические поверхности — дугами окружностей. Плавные переходы от одной прямой к другой в этих случаях выполняются дугой заданного радиуса.

Плавный переход одной цилиндрической поверхности в другую может являться цилинд­рической поверхностью (рис. 127, а). На черте­же эти цилиндрические поверхности изобра­жены дугами окружностей, (рис. 127, б). В этом случае плавный переход одной дуги окруж­ности в другую осуществляется дугой окруж­ности заданного радиуса.

На рис. 126, а и 127, а рассмотрены простей­шие примеры плавных переходов поверхностей. В чертежах более сложных деталей плавные переходы между поверхностями изображают­ся различными сочетаниями прямых, окруж­ностей и их дуг. Вариантов таких сочетаний может быть много, но их объединяет од­но — плавность перехода. Такой плавный пе­реход одной линии (поверхности) в другую ли­нию (поверхность) называют сопряжени­ем. При построении сопряжения необходимо определить границу, где кончается одна линия и начинается другая, т. е. найти на чертеже точку перехода, которая называется точкой сопряжения или точкой касания.

Задачи на сопряжения условно можно раз­делить на три группы.

Первая группа задачвключает в себя зада­чи на построение сопряжений, где участвуют прямые линии. Это может быть непосредствен­ное касание прямой и окружности, сопряжение двух прямых дугой заданного радиуса, а также проведение касательной прямой к двум окружностям.

Построение окружности, каса­тельной к прямой, связано с нахождени­ем точки касания и центра окружности.

Задана горизонтальная прямая АВ, требует­ся построить окружность радиусом R, касательную к данной прямой (рис. 128). Точка касания выбирается произвольно. Так как точка касания не задана, то окружность ра­диуса R может коснуться данной прямой в любой точке. Таких окружностей можно про­вести множество. Центры этих окружностей (O₁, О₂ и т. д.) будут находиться на одина­ковом расстоянии от заданной прямой, т. е. на линии, расположенной параллельно заданной прямой АВ на расстоянии, равном радиусу заданной окружности (рис. 128). Назовем эту линию линией центров. Проведем линию центров параллельно прямой АВ на расстоя­нии R. Так как центр касательной окруж­ности не задан, возьмем любую точку на линии центров, например точку О. Прежде чем про­водить касательную окружность, следует опре­делить точку касания. Точка касания будет лежать на перпендикуляре, опущенном из точ­ки О на прямую АВ. В пересечении перпендику­ляра с прямой АВ получим точку К, которая будет точкой касания. Из центра О радиусом R от точки К проведем окружность. Задача решена.

В детали, которая изображена на рис. 129, а, пластина плавно переходит в цилиндр. При выполнении чертежа этой детали необходимо построить плавный переход прямой в окруж­ность.

Задача аналогична предыдущей, но до­полнена условием, что точка касания задана, так как задан размер А (рис. 129, б), который определяет величину прямолинейного участка.

Отложив размер Л, находят точку касания (точку /С), затем из точки К восставляют пер­пендикуляр, на котором откладывают радиус R заданной окружности, и находят центр ок­ружности (точку О). При обводке сначала от точки касания проводится дуга заданного ра­диуса, а потом — прямая.

Из сказанного следует:

1) центр окружности, касательной к прямой, лежит на прямой (линия центров), проведенной параллельно заданной прямой, на расстоянии, равном радиусу данной окружности;

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Понимая самые простые закономерности в геометрии, можно научиться строить на плоскости более сложные фигуры. Так, большинство геометрических фигур имеют достаточно сложный вид, однако, зная определённые правила, можно понять, как построить шестиугольник с помощью только лишь циркуля и линейки.

Для начала на листе бумаги необходимо изобразить окружность, делается это с помощью циркуля. Устанавливаем ножки инструмента на определённом уровне друг от друга, чтобы задать радиус, после чего рисуем окружность. Важно помнить, что окружность должна полностью помещаться на листе бумаги. При этом, если ножки циркуля будут сильно близко друг к другу или, наоборот, сильно далеко друг от друга, то может не получиться начертить правильную окружность. Поэтому стоит учитывать, что между ножками должен быть угол примерно в 30 градусов.

Теперь необходимо построить точки, которые будут являться вершинами углов шестиугольника. Для этого, не меняя расстояния между ножками циркуля, устанавливаем иглу в любую точку окружности таким образом, чтобы игла была точно на линии. Чем точнее будут выполнены действия, тем точнее будет дальнейшее построение. Теперь проводим циркулем дугу до тех пор, пока она не пересечётся с линией окружности. Это и будет одной из вершин углов шестиугольника. Далее переставляем иглу в только что полученную точку и совершаем такие же действия. Эту операцию нужно будет проделать ещё четыре раза, в результате чего получится шесть точек, то есть шесть углов.

Перед тем как построить правильный шестиугольник, необходимо соединить полученные точки. Все действия необходимо делать с помощью карандаша и линейки, чтобы добиться максимально точного результата. В итоге на листе бумаги появится вписанный в окружность правильный шестиугольник.