Содержание
Если на изделие из определенного материала воздействовать некой силой, то он начинает сопротивляться этому действию: сжиматься, растягиваться или изгибаться. Способность к такому противостоянию можно оценить и выразить математически. Название этой прочностной характеристики – модуль упругости.
Параметр для каждого материала различный, и характеризует его прочность. Пользуются величиной при разработке конструкций, деталей и других изделий, с целью предотвращения нарушения их целостности.
Общее понятие
При любом внешнем воздействии на предмет, внутри его возникают встречные силы, компенсирующие внешние. Для идеальных систем, находящихся в равновесии, силы равномерно распределены и равны, что позволяет сохранить форму предмета. Реальные системы не подчиняются таким правилам, что может привести к их деформации. Оценивая прочность материалов, говорят об их упругости.
Определение модуля Юнга твердых тел
Упругие материалы – это те, которые после прекращения внешнего воздействия, восстанавливают свою первоначальную форму.
Внутренние силы распределены равномерно по всей площади поперечного сечения предмета, имеют свою интенсивность, которая выражается количественно, называется напряжением (р) и измеряется в Н/м 2 или по международной системе Па.
Напряжение имеет свою пространственную направленность: перпендикулярно площади сечения предмета – нормальное напряжение (σz) и лежащая в плоскости сечения – касательное напряжение (τz).
Опыт с пружинными весами
Модуль упругости (Е) как единицу измерения отношения материала к линейной деформации, и нормальное напряжение связывает формула закона Гука:
где ε – относительное удлинение или деформация.
Преобразовав формулу (1) для выражения из нее нормального напряжения, можно увидеть, что Е является постоянной при относительном удлинении, и называется коэффициентом жесткости, а его единицы измерения Па, кгс/мм 2 или Н/м 2 :
Модуль упругости – это единица измерения отношения напряжения, создаваемого в материале, к линейной деформации, такой как, растяжение и сжатие.
В справочных материалах размерность модуля упругости выражается в МПа, так как деформация имеет довольно малое значение. А зависимость между этими величинами обратно пропорциональная. Таким образом, Е имеет высокое значение, определяемое 107-109.
Способы расчета модуля упругости
Известны также и другие характеристики упругости, которые описывают сопротивление материалов к воздействиям как к линейным, так и отличным от них.
Величина, которая характеризует сопротивление материала к растяжению, то есть увеличению его длины вдоль оси, или к сжатию – сокращению линейного размера, называется модулем продольной упругости.
Обозначается как Е и выражается в Па или ГПа.
Показывает зависимость относительного удлинения от нормальной составляющей cилы (F) к ее площади распространения (S) и упругости (Е):
Параметр также называют модулем Юнга или модулем упругости первого рода, в таблице показаны величины для материалов различной природы.
Название материала | Значение параметра, ГПа |
Алюминий | 70 |
Дюралюминий | 74 |
Железо | 180 |
Латунь | 95 |
Медь | 110 |
Никель | 210 |
Олово | 35 |
Свинец | 18 |
Серебро | 80 |
Серый чугун | 110 |
Сталь | 190/210 |
Стекло | 70 |
Титан | 112 |
Хром | 300 |
Модулем упругости второго рода называют модуль сдвига (G), который показывает сопротивление материала к сдвигающей силе (FG). Может быть выражена двумя способами.
- Через касательные напряжения (τz) и угол сдвига (γ):
- Через соотношение модуля упругости первого рода и коэффициента Пуасонна (ν):
Определенное в результате экспериментов значение сопротивления материала изгибу, называется модулем упругости при изгибе, и вычисляется следующим образом:
где Fр – разрушающая сила, Н;
L – расстояние между опорами, мм;
b, h – ширина и толщина образца, мм;
ƒ1, ƒ2– прогибы, образованные в результате нагрузки F1 и F2.
При равномерном давлении по всему объему на объект, возникает его сопротивление, называемое объемным модулем упругости или модулем сжатия (К). Выразить этот параметр можно, практически через все известные модули и коэффициент Пуассона.
Определение модуля упругости щебеночного основания
Параметры Ламе также используют для описания оценки прочности материала. Их два μ – модуль сдвига и λ. Они помогают учитывать все изменения внутри материала в трехмерном пространстве, тогда соотношения между нормальным напряжением и деформацией будет выглядеть следующим образом:
σ = 2με + λtrace(ε)I (7)
Оба параметра могут быть выражены из следующих соотношений:
Модуль упругости различных материалов
Модули упругости для различных материалов имеют совершенно разные значения, которые зависят от:
- природы веществ, формирующих состав материала;
- моно- или многокомпонентный состав (чистое вещество, сплав и так далее);
- структуры (металлическая или другой вид кристаллической решетки, молекулярное строение прочее);
- плотности материала (распределения частиц в его объеме);
- обработки, которой он подвергался (обжиг, травление, прессование и тому подобное).
Так, например, в справочных данных можно найти, что модуль упругости для алюминия составляет диапазон от 61,8 до 73,6 ГПа. Видимо, это и зависит от состояния металла и вида обработки, потому как для отожженного алюминия модуль Юнга – 68,5 ГПа.
Его значение для бронзовых материалов зависит не только от обработки, но и от химического состава:
- бронза – 10,4 ГПа;
- алюминиевая бронза при литье – 10,3 ГПа;
- фосфористая бронза катанная – 11,3 ГПа.
Модуль Юнга латуни на много ниже – 78,5-98,1. Максимальное значение имеет катанная латунь.
Сама же медь в чистом виде характеризуется сопротивлением к внешним воздействиям значительно большим, чем ее сплавы – 128,7 ГПа. Обработка ее также снижает показатель, в том числе и прокатка:
- литая – 82 ГПа;
- прокатанная – 108 ГПа;
- деформированная – 112 ГПа;
- холоднотянутая – 127 ГПа.
Близким значением к меди обладает титан (108 ГПа), который считается одним из самых прочных металлов. А вот тяжелый, но ломкий свинец, показывает всего 15,7-16,2 ГПа, что сравнимо с прочностью древесины.
Для железа показатель напряжения к деформации также зависит от метода его обработки: литое – 100-130 или кованное – 196,2-215,8 ГПа.
Чугун известен своей хрупкостью имеет отношение напряжения к деформации от 73,6 до 150 ГПа, что соответствует от его виду. Тогда как для стали модуль упругости может достигать 235 ГПа.
Модули упругости некоторых материалов
На величины параметров прочности влияют также и формы изделий. Например, для стального каната проводят расчеты, где учитывают:
Интересно, что этот показатель для каната будет значительно ниже, чем для проволоки такого же диаметра.
Стоит отметить прочность и не металлических материалов. Например, среди модулей Юнга дерева наименьший у сосны – 8,8 ГПа, а вот у группы твердых пород, которые объединены под названием «железное дерево» самый высокий – 32,5 ГПа, дуб и бук имеют равные показатели – 16,3 ГПа.
Среди строительных материалов, сопротивление к внешним силам у, казалось бы, прочного гранита всего 35-50 ГПа, когда даже у стекла – 78 ГПа. Уступают стеклу бетон – до 40 ГПа, известняк и мрамор, со значениями 35 и 50 ГПа соответственно.
Такие гибкие материалы, как каучук и резина, выдерживают осевую нагрузку от 0,0015 до 0,0079 ГПа.
Как определить модуль упругости стали
Выяснить модули упругости для различных марок стали можно несколькими путями:
- по справочным данным из таблиц;
- экспериментальными методами для небольшого образца;
- расчетными методами, зная необходимые данные.
Жесткость стали зависит от ее химического состава и вида кристаллической решетки, от плотности, достигнутой в результате обработки. Прочность же ее конструкций определяется такими важными факторами, как параметры изделия, в том числе габариты, эксплуатационные нагрузки, и их длительность. При расчетах, выполняемых по нормированным методикам, результат осознанно завышают, чтобы предупредить возможные аварии и поломки.
Тем не менее, устойчивость стали к деформации определяется изначально ее маркой, то есть наличием примесей в сплаве.
В таблице приведены модули упругости стали наиболее популярных марок, а модуль сдвига ее составляет – 80-81 ГПа.
Сталь | Модуль (Е), ГПа |
углеродистая | 195-205 |
легированная | 206-235 |
Ст.3, Ст.5 | 210 |
сталь 45 | 200 |
25Г2С, 30ХГ2С | 200 |
Из таблицы видно, что наименьшее значение прочности у стали 45, 25Г2С, 30ХГ2С, а у нержавеющей стали самое высокое – 235 ГПа.
Экспериментальный метод определения заключается в определении относительного удлинения небольшого стального образца на установке, с последующим расчетом.
В основе метода лежит заключение, что растяжение образца стали до предела упругости, подчиняется закону Гука (1). Зная приложенную силу (F) и площадь детали (А), выяснив ее удлинение (Δl) можно рассчитать Е:
Расчеты ведут в мм и МПа.
Для проектирования конструкций необходимо всегда знать или просчитывать не менее двух разных модулей упругости. Исходя из коэффициента жесткости можно перейти к другим видам сопротивления к воздействию извне для стали: упругости при изгибе и объемной.
Модуль упругости — общее название нескольких физических величин, характеризующих способность твёрдого тела (материала, вещества) упруго деформироваться (то есть не постоянно) при приложении к нему силы. В области упругой деформации модуль упругости тела в общем случае зависит от напряжения и определяется производной (градиентом) зависимости напряжения от деформации, то есть тангенсом угла наклона начального линейного участка диаграммы напряжений-деформаций:
E = def d σ d ε <displaystyle E <stackrel < ext
- E — модуль упругости;
- σ <displaystyle sigma >
— напряжение, вызываемое в образце действующей силой (равно силе, делённой на площадь приложения силы);
- ε <displaystyle varepsilon >
— упругая деформация образца, вызванная напряжением (равна отношению изменения размера образца после деформации к его первоначальному размеру).
В наиболее распространенном случае зависимость напряжения и деформации линейная (закон Гука):
E = σ ε <displaystyle E=<frac <sigma ><varepsilon >>> .
Если напряжение измеряется в паскалях, то, поскольку деформация является безразмерной величиной, единицей измерения Е также будет паскаль. Альтернативным определением является определение, что модуль упругости — это напряжение, достаточное для того, чтобы вызвать увеличение длины образца в два раза. Такое определение не является точным для большинства материалов, потому что это значение намного больше чем предел текучести материала или значения, при котором удлинение становится нелинейным, однако оно может оказаться более интуитивным.
Разнообразие способов, которыми могут быть изменены напряжения и деформации, включая различные направления действия силы, позволяют определить множество типов модулей упругости. Здесь даны три основных модуля:
- Модуль Юнга ( E ) характеризует сопротивление материала растяжению/сжатию при упругой деформации, или свойство объекта деформироваться вдоль оси при воздействии силы вдоль этой оси; определяется как отношение напряжения к деформации сжатия (удлинения). Часто модуль Юнга называют просто модулем упругости.
- Модуль сдвига или модуль жесткости ( G или μ <displaystyle mu >
) характеризует способность материала сопротивляться изменению формы при сохранении его объёма; он определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига, определяемой как изменение прямого угла между плоскостями, по которым действуют касательные напряжения. Модуль сдвига является одной из составляющих явления вязкости.
- Модуль объёмной упругости или Модуль объёмного сжатия ( K ) характеризует способность объекта изменять свой объём под воздействием всестороннего нормального напряжения (объёмного напряжения), одинакового по всем направлениям (возникающего, например, при гидростатическом давлении). Он равен отношению величины объёмного напряжения к величине относительного объёмного сжатия. В отличие от двух предыдущих величин, модуль объёмной упругости невязкой жидкости отличен от нуля (для несжимаемой жидкости — бесконечен).
Гомогенные и изотропные материалы (твердые), обладающие линейными упругими свойствами, полностью описываются двумя модулями упругости, представляющими собой пару любых модулей. Если дана пара модулей упругости, все другие модули могут быть получены по формулам, представленным в таблице ниже.
В невязких течениях не существует сдвигового напряжения, поэтому сдвиговый модуль всегда равен нулю. Это влечёт также и равенство нулю модуля Юнга.
Формулы преобразования | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Упругие свойства гомогенных изотропных линейно-упругих материалов уникально определяются любыми двумя модулями упругости. Таким образом, имея два модуля, остальные можно вычислить по следующим формулам: | |||||||||
( λ , G ) <displaystyle (lambda ,,G)> |
( E , G ) <displaystyle (E,,G)> |
( K , λ ) <displaystyle (K,,lambda )> |
( K , G ) <displaystyle (K,,G)> |
( λ , ν ) <displaystyle (lambda ,, u )> |
( G , ν ) <displaystyle (G,, u )> |
( E , ν ) <displaystyle (E,, u )> |
( K , ν ) <displaystyle (K,, u )> |
( K , E ) <displaystyle (K,,E)> |
|
K = <displaystyle K=> |
u ><3
u >>>
u )><3(1-2
u )>>>
u )>>>
u )(1-2
u )><
u >>>
u )>
u )>
u ><1-2
u >>>
u )(1-2
u )>>>
u ><1+
u >>>
или второй параметр Ламе
u ><2
u >>>
u >>>
u ><2+2
u >>>
u =>
u ><
u >>>
u ><1-2
u >>>
u ><(1+
u )(1-2
u )>>>
u ><1+
u >>>
Модули упругости (Е) для некоторых веществ:
Упругая деформация возникает в результате смещения атомов из равновесных положений в кристаллической решетке на расстояния, как правило, меньшие периода решетки (см. рис. 8.6, б), и исчезает после прекращения действия внешних сил.
В упругодеформируемом теле после снятия нагрузки происходят обратимые изменения формы и размеров образца, т. е. тело восстанавливает свою исходную форму и первоначальные размеры. Поведение твердых тел при упругой деформации (линейный участок на диаграмме а—г, см. рис. 8.3) описывается законом Гука, который определяет прямую пропорциональность между механическим напряжением и упругой деформацией материала.
Для деформации растяжения закон Гука имеет вид
где Е — модуль нормальной упругости, или модуль Юнга.
Рис. 8.7. Схема деформации сдвига твердого тела
Для сдвиговой деформации при действии касательных напряжений (рис. 8.7) закон Гука также имеет простой вид
где т = F/S — касательное напряжение (F— действующая сила; S — площадь сдвига); G — модуль сдвига; у — относительный сдвиг (ввиду малости угла сдвига у при упругой деформации можно считать у =
Модуль нормальной упругости и модуль сдвига связаны между собой соотношением
где ц — коэффициент Пуассона (отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации при растяжении образца в области действия закона Гука). Для большинства металлов р = 0,33-0,4.
При всестороннем сжатии закон Гука выражает прямую пропорциональность между гидростатическим давлением Р и относительным уменьшением объема х = А К/ V:
где К — модуль объемной упругости.
Таким образом, модуль упругости — это величина, равная отношению напряжения к вызванной им упругой относительной деформации.
Рассмотренные модули упругости являются важнейшими характеристиками упругих свойств материала. Они определяют прочность межатомных связей. В таблице 8.1 даны значения упругих постоянных для ряда поликристаллических металлов.
Упругие постоянные поликристаллических металлов при комнатной температуре (А. И. Чижик)
Модули упругости зависят от ряда факторов — температуры, наклепа, легирования материалов.
При нагреве модули упругости несколько уменьшаются (на 2-4% при повышении температуры на 100 °С), поскольку из-за термического расширения увеличиваются межатомные расстояния в материале. Эта зависимость обычно монотонная (рис. 8.8), но монотонность хода кривой может нарушиться в случае каких-либо структурных превращений в материале (полиморфных, фазовых и др.). В частности, на рис. 8.8 виден скачок значения модуля нормальной упругости за счет а—у-превращения в железе при 910‘С.
Следует отметить, что существуют сплавы на железоникелевой основе (Fe + 36% Ni + (7—9)% Cr + (2—3)% Мп), так называемые элинвары, характеризующиеся близким к нулю температурным коэффициентом модуля упругости. Например, в температурном диапазоне от —50 до +60 °С модуль упругости для них постоянен. Такое необычное поведение элинваров при изменении температуры связано с компенсирующим влиянием магнитных эффектов.
Рис. 8.8. Температурные зависимости модуля нормальной упругости для некоторых металлов (Л. С. Мороз)
В связи с такой уникальной особенностью данные сплавы применяют для изготовления камертонов, мембран, часовых пружин и других деталей, которые должны сохранять упругие свойства в заданном температурном интервале.
Нагартовка (наклеп) при небольших степенях пластической деформации слабо влияет на модули упругости (их уменьшение составляет не более 1%). Вообще говоря, для поликристаллов, состоящих из большого числа различно ориентированных зерен, определяемые среднестатистические изменения упругих модулей примерно постоянны и не зависят от направления.
Однако значительная пластическая деформация приводит к образованию в структуре поликристаллических металлов и сплавов преимущественной ориентировки зерен — текстуры деформации, вследствие чего возникает анизотропия механических свойств материала, и значения модулей упругости в различных кристаллографических направлениях могут существенно изменяться (эти изменения иногда достигают десятков процентов). Аналогичным образом на величину упругих модулей может влиять рекристаллизация при нагреве после деформации (при этом образуется текстура рекристаллизации).
Вследствие значительной анизотропии свойств при большой скорости нагружения упругая деформация металла (сплава) может завершиться хрупким разрушением практически без пластической деформации. Модули упругости монокристаллов также являются анизотропными и зависят от межатомного расстояния в соответствующих кристаллографических направлениях кристаллической решетки. Например, для железа в направлении [100] модуль нормальной упругости равен 132 ГПа, а в направлении [1111-271 ГПа.
Легирование материалов может как увеличивать, так и уменьшать модуль упругости. Если силы связи между атомами растворенного элемента и атомами растворителя (основного элемента) больше, чем силы межатомного взаимодействия между атомами растворителя, то при легировании в твердом растворе модуль упругости повышается (и наоборот). При этом модуль упругости изменяется в зависимости от содержания легирующего элемента по закону, близкому к линейному (рис. 8.9).
Если содержание легирующего элемента в кристаллической решетке растворителя превосходит значение предела растворимости при данной температуре, то, как известно, образуется вторая фаза, имеющая свою кристаллическую решетку и собственный модуль упругости. Тогда, подобно рассмотренному выше случаю образования однофазного твердого раствора, модуль упругости может как увеличиться, так и уменьшиться. Если значение модуля упругости у второй фазы больше, чем у основы, то модуль упругости гетерофазного сплава увеличивается с повышением содержания легирующих элементов, образующих вторую фазу (и наоборот). Рисунок 8.10 иллюстрирует влияние некоторых легирующих элементов, образующих твердую вторую фазу в алюминиевых сплавах, на модуль нормальной упругости алюминия.
Рис. 8.9. Влияние легирования на модуль нормальной упругости меди и алюминия (экспериментальные данные:
- –Г. Брэдфилд и др.,
- —-В. Кестер,
- —–Б. Эллиот и др.)
Рис. 8.10. Влияние элементов, образующих вторую фазу, на модуль нормальной упругости алюминия (Н. Дудзински)