Что такое развертки поверхностей

Разверткой называется фигура, полученная от совмещения поверхности с плоскостью.

Представляя поверхность в виде гибкой, но нерастяжимой пленки, можно говорить о таком преобразовании поверхности, при котором поверхность совмещается с плоскостью без складок и разрывов.

Поверхности, которые допускают такое преобразование, называются развертывающимися.

Поверхности, которые не могут быть наложены на плоскость без складок и разрывов, называются неразвертывающимися.

Построение разверток поверхностей представляет собой важную техническую задачу и имеет большое практическое значение при конструировании различных изделий из листового материала, так как в промышленности применяется много конструкций в виде сосудов и трубопроводов, выполненных из листового материала способом изгибания. Одним из важных этапов в проектировании таких конструкций является построение разверток

При этом необходимо отметить, что часто приходится изготовлять из листового материала не только развертывающиеся поверхности, но и неразвертывающиеся поверхности. В этом случае неразвертывающуюся поверхность разбивают на части, которые можно заменить развертывающимися поверхностями, а затем строят развертки этих частей.

Если рассматривать поверхность и ее развертку как точечные множества, то между этими двумя множествами устанавливается взаимно однозначное соответствие. Значит, каждой точке на поверхности соответствует единственная точка развертки, каждой линии соответствует линия на развертке и наоборот. .

Указанное взаимно однозначное соответствие обладает рядом весьма важных свойств, которые заключаются в следующем:

• длины двух соответствующих линий развертки и поверхности равны между собой;

• углы, образованные линиями на развертке, и углы между соответствующими линиями на поверхности равны;

• замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковую площадь.

Эти свойства коротко можно выразить следующим образом: поверхность Ω называется развертывающейся на плоскость Ω, если между их точками M и M (рис. 144) можно установить взаимно однозначное соответствие, при котором сохраняются длины линий, расположенных на поверхности, величины углов между линиями и площади фигур, ограниченных замкнутыми линиями.

Таким образом, длина s дуги AB равна длине s дуги AB, угол φ равен углу φ и площадь F равна площади F0

После этого развертку можно определить как такое геометрическое преобразование поверхности в плоскую фигуру, которое является взаимно однозначным и обладает указанными ранее свойствами.

Также необходимо отметить еще два важных свойства:

• прямая линия на поверхности переходит в прямую на развертке;

• параллельные прямые переходят тоже в параллельные прямые.

Рассмотрим простой пример, на котором можно легко видеть указанные основные свойства.

На рис 145 изображены конус вращения и его развертка, имеющая вид кругового сектора. Прямолинейная образующая (SA) на конусе переходит в соответствующую ей прямую (SA). Положение точки S выбирается произвольно. Длина кривой q равна длине соответствующей ей кривой q на развертке. Угол между (SA) и q, измеряемый как угол между (SA) и касательной t в точке A и являющийся прямым, переходит в равновеликий угол между (SA) и касательной t. Наконец, площадь поверхности конуса и площадь кругового сектора развертки равны между собой.

Однако не все поверхности можно постепенно деформировать и совместить с плоскостью так, что при этом не будет ни разрывов, ни складок.

Признак развертываемости поверхности можно определить следующим образом: поверхность будет развертывающейся, если касательная плоскость во всех точках одной и той же ее прямолинейной образующей постоянна (рис. 146).

К развертывающимся поверхностям относятся все многогранные поверхности. Разверткой многогранной поверхности является плоская фигура, полученная последовательным совмещением с одной и той же плоскостью всех ее граней (рис. 147).

Поэтому построение развертки многогранной поверхности сводится к определению натуральной величины отдельных ее граней.

Из класса линейчатых поверхностей развертывающимися будут только цилиндрические, конические и поверхности с ребром возврата (торсы) (рис. 148).

Все криволинейные поверхности являются неразвертывающимися, так как на них вообще нельзя провести прямой линии.

При построении разверток ее размеры могут быть вычислены с любой степенью точности. Чертеж развертки, выполненный на основе размеров, полученных вычислением, называют точным. Однако на практике чаще всего строят развертки по чертежу поверхности, используя определенные графические приемы. Чертеж развертки, выполненный с помощью графических приемов, называют приближенным. Чертеж развертки неразвертывающихся поверхностей называют условным.

План:

13.1. Общие положения

13.2. Аналитический способ

13.3. Способ триангуляции (треугольников)

13.4. Способ нормального сечения

13.5. Способ раскатки

13.6. Приближенные построения разверток

Общие положения

Под развертыванием следует понимать совмещение всей поверхности тела с плоскостью.

РАЗВЕРТКОЙ называется фигура, в которую преобразуется при совмещении с плоскостью поверхность, подразумеваемая как гибкая, но нерастяжимая и несжимаемая пленка.

Развертываемые поверхности могут быть развертывающимися и неразвертывающимися.

К РАЗВЕРТЫВАЮЩИМСЯ относятся такие поверхности, которые могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок. К этому типу относятся все многогранные поверхности. Разверткой многогранной поверхности является плоская фигура, полученная последовательным совмещением с одной и то же плоскостью всех ее граней. Поэтому построение развертки многогранной поверхности сводится к определению натурального вида ее отдельных граней.

Из кривых поверхностей к числу развертывающихся относятся только те линейчатые поверхности, у которых касательная плоскость во всех точках одной и той же образующей постоянна. Если же у линейчатой поверхности в различных точках одной и той же образующей разные касательные плоскости, то она не развертывается и называетсякосой поверхностью.

Таким образом, к числу развертывающихся линейчатых поверхностей относятся цилиндрические(рис. 163а), конические(рис. 163б) и торсы(рис. 163в).

Все остальные кривые поверхности не развертываются на плоскость и поэтому при необходимости изготовления этих поверхностей из листового материала их приближенно заменяют развертывающимися поверхностями.

1) каждой точке поверхности соответствует единственная точка ее развертки;

2) длина линии на развертке равна длине соответствующей линии на поверхности;

3) на развертке сохраняются величины плоских углов.

Построение развертки может быть осуществлено различными способами, как аналитически, так и графически.

Аналитический способ

Этот способ заключается в нанесении на чертеж развертки всех предварительно вычисляемых размеров, необходимых для раскроя материала.

Цилиндр. Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра (рис. 164) представляет собой прямоугольник, высота которого равна высоте цилиндра (H), а длина — длине окружности (диаметр d) основания.

Конус. Развертка прямого кругового конуса (рис. 165) представляет собой сектор круга, радиус которого R равен длине образующей конуса, а центральный угол j o определяется формулой:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент – человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10178 – | 7216 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Чтобы развертка поверхностей осуществлялась, их необходимо представлять как гибкую, нерастяжимую пленку. Представленные таким образом поверхности можно путем распрямления совместить с плоскостью. Если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученнуюплоскую фигуру – ее разветкой.

Поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью из-за разрывов, относятся к неразвертываемым поверхностям. К группе для которой возможна развертка поверхностей могут быть отнесены только линейчатые поверхности и, в частности, те из них, которые имеют пересекющиеся смежные образующие. Точка пересечения может быть собственной – поверхности с ребром возврата и конические, и несобственной – поверхности цилиндрические.

Рассмотрим развертывание конической поверхности α на плоскость β

Развертка поверхностей сопровождается постепенным спрямлением поверхности α и ее совмещением с плоскостью β, касательной к ней. Линия касания – образующая 1S. Проведем из точки 2, на направляющей конической поверхности m, образующую конической поверхности 2S. Если расстояние между точками 1 и 2 мало, то Δ1S2 можно с определенной степенью точности отождествлять с отсеком конической поверхности, заключенной между образующими 1S и 2S. Поворачивая Δ1S2 вокруг стороны 1S до его совмещения с плоскостью β, получим Δ1S2, представляющий развертку отсека поверхности α 1S2 на плоскость β. При перемещении точки 2 в положение 2 направляющая конической поверхности m займет положение m₁. Проведя такие же действия к точкам 3; 4; . ; N получим развертку поверхности α на плоскость β.

Развертка поверхностей представлена в следующих статьях: Графическая работа 7 – призма и пирамида; Графическая работа 8 – развертки поверхностей вращения цилиндра и конуса Графическая работа 12 – развертки поверхности усеченной пирамиды. Графическая работа 13 – развертки поверхности усеченного прямого кругового конуса. Графическая работа 14 – развертки боковой поверхности конуса.