Выпуклый шестиугольник с диагоналями

дБО ЧЩРХЛМЩК ЫЕУФЙХЗПМШОЙЛ, ЛБЦДБС ДЙБЗПОБМШ ЛПФПТПЗП, УПЕДЙОСАЭБС РТПФЙЧПРПМПЦОЩЕ ЧЕТЫЙОЩ, ДЕМЙФ ЕЗП РМПЭБДШ РПРПМБН.
дПЛБЦЙФЕ, ЮФП ЬФЙ ДЙБЗПОБМЙ РЕТЕУЕЛБАФУС Ч ПДОПК ФПЮЛЕ.

фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

тЕЫЕОЙЕ

рХУФШ ДЙБЗПОБМШ AD ЧЩРХЛМПЗП ЫЕУФЙХЗПМШОЙЛБ ABCDEF РЕТЕУЕЛБЕФУС У ДЙБЗПОБМСНЙ BE Й CF Ч ФПЮЛБИ X Й Y УППФЧЕФУФЧЕООП, Б ДЙБЗПОБМЙ BE Й CF РЕТЕУЕЛБАФУС Ч ФПЮЛЕ Z, РТЙЮЈН ФПЮЛБ X МЕЦЙФ НЕЦДХ A Й Y, Б Z – НЕЦДХ E Й X. фПЗДБ S_ABX = S_XDE, S_BCZ = S_ZEF, S_CDY = S_YAF (ОБРТЙНЕТ, РМПЭБДШ ЛБЦДПЗП ЙЪ ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ ABX Й XDE ТБЧОБ ТБЪОПУФЙ РПМПЧЙОЩ РМПЭБДЙ ДБООПЗП ЫЕУФЙХЗПМШОЙЛБ Й ЮЕФЩТЈИХЗПМШОЙЛБ BCDX). рПЬФПНХ
AX·BX = DX·EX > DY·EZ, FZ·EZ = CZ·BZ > BX·CY, CY·DY = AY·FY > AX·FZ , ЪОБЮЙФ, AX·BX·FZ· EZ·CY·DY > DY·EZ·BX·CY·AX·FZ , ЮФП ОЕЧПЪНПЦОП. уМЕДПЧБФЕМШОП, ПФТЕЪЛЙ AD, BE Й CF РЕТЕУЕЛБАФУС Ч ПДОПК ФПЮЛЕ.
бОБМПЗЙЮОП ТБЪВЙТБАФУС ПУФБМШОЩЕ УМХЮБЙ.

фБЛЦЕ ДПУФХРОЩ ДПЛХНЕОФЩ Ч ЖПТНБФЕ TeX

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

web-УБКФ
оБЪЧБОЙЕ	уЙУФЕНБ ЪБДБЮ РП ЗЕПНЕФТЙЙ т.л.зПТДЙОБ
URL	http://zadachi.mccme.ru
ЪБДБЮБ
оПНЕТ	3359

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

Шестиугольник — многоугольник с шестью углами. Также шестиугольником называют всякий предмет такой формы.

Площадь шестиугольника без самопересечений

Площадь шестиугольника без самопересечений, заданного координатами вершин, определяется по общей для многоугольников формуле.

Выпуклый шестиугольник

Выпуклым шестиугольником называется шестиугольник, такой, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника равна 720°.

∑ i = 1 6 α i = ( 6 − 2 ) ⋅ 180 ∘ = 4 ⋅ 180 ∘ = 720 ∘ <displaystyle sum _^<6>alpha _=(6-2)cdot 180^<circ >=4cdot 180^<circ >=720^<circ >>

Доказано [1] , что в любом достаточно большом множестве точек в общем положении содержится выпуклый пустой (то есть не содержащий точек этого множества) шестиугольник. Но существуют сколь угодно большие множества точек в общем положении, в которых нет выпуклого пустого семиугольника [2] . Вопрос о необходимом числе точек по сей день остаётся открытым. Известно, что требуется не менее 30 точек [3] . А если справедлива гипотеза Эрдёша-Секереша о многоугольниках, то не более 129 [4] .

Правильный шестиугольник

Правильным называется шестиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 120°.

Звездчатые шестиугольники

Многоугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного многоугольника, называется звёздчатым. Помимо правильного существует ещё один звёздчатый шестиугольник, состоящий из двух правильных треугольников — гексаграмма или звезда Давида.

См. также

Примечания

1. ↑ Nicolás, Carlos M. (2007), "The empty hexagon theorem", Discrete and Computational Geometry Т. 38 (2): 389–397 , DOI 10.1007/s00454-007-1343-6
2. ↑ Horton, J. D. (1983), "Sets with no empty convex 7-gons", Canadian Mathematical Bulletin Т. 26 (4): 482–484 , DOI 10.4153/CMB-1983-077-8
3. ↑ Overmars, M. (2003), "Finding sets of points without empty convex 6-gons", Discrete and Computational Geometry Т. 29 (1): 153–158 , DOI 10.1007/s00454-002-2829-x
4. ↑ Gerken, Tobias (2008), "Empty convex hexagons in planar point sets", Discrete and Computational Geometry Т. 39 (1–3): 239–272 , DOI 10.1007/s00454-007-9018-x

Бипирамида

Бипирамида или дипирамида является трёхмерным многогранником, сформированным из двух пирамид, одна из которых является зеркальным отражением другой. Место соединения пирамид образует общую фигуру в виде многоугольника. Простая бипирамида формируется при сложении двух тетраэдров. При основании пирамиды в виде квадрата, причём боковые грани её равносторонние треугольники, формируется бипирамида, известная как октаэдр.

При увеличении числа сторон многоугольника в основании пирамиды, в пределе формируется круг или эллипс и образуется два конуса, соединённые основаниями.

Элементы, составляющие бипирамиду:

Ребра — линии, соединяющие вершины.

Грани — плоские поверхности, ограниченные рёбрами, треугольной или трапецеидальной формы.

В кристаллографии применяется термин (гексагональная сингония) для классификации кристаллов. Например, гексагональная бипирамида образована из пирамид в основании которых лежит правильный шестиугольник, общий для двух пирамид.

Мозаики «гирих» — это набор пяти плиток, использовавшихся для создания орнамента для украшения зданий в исламской архитектуре. Плитки использовались примерно с 12-го века и орнаменты существенно улучшились к моменту построения усыпальницы Дарб-и Имам в городе Исфахан в Иране (построена в 1453).

Пять плиток мозаики включают:

правильный десятиугольник с внутренними углами 144°;

удлиненный (неправильный выпуклый) шестиугольник с внутренними углами 72°, 144°, 144°, 72°, 144°, 144°;

галстук-бабочка (невыпуклый шестиугольник) с внутренними углами 72°, 72°, 216°, 72°, 72°, 216°;

ромб с внутренними углами 72°, 108°, 72°, 108°;

правильный пятиугольник с внутренними углами 108°.Все рёбра этих плиток имеют одну и ту же длину, а все углы кратны 36° (π/5 радиан). Четыре плитки (кроме пятиугольника) имеют двустороннюю (зеркальную) симметрию относительно двух перпендикулярных осей. Некоторые плитки имеют дополнительные симметрии. В частности, десятиугольник имеет десятикратную вращательную симметрию (вращение на 36°), а пятиугольник имеет пятикратную вращательную симметрию (вращение на 72°).

Собственно, гирих — это линии (орнамента), которым декорированы плитки. Плитки использовались для создания орнамента (гириха). На языке фарси слово گره означает "узел" . В большинстве случаев виден только гирих, (и другие украшения в виде цветов), но не границы самих плиток. Гирих является ломаными отрезками, пересекающими границы плиток по центру под углом 54° (3π/10) к ребру. Две перекрещивающиеся линии гириха пересекают каждое ребро плитки. Большинство плиток имеют единственный орнамент внутри, соответствующий симметрии плитки. Однако десятиугольник имеет два возможных орнамента гириха, один из которых имеет только пятикратную, а не десятикратную симметрию.

Двуугольник — многоугольник с двумя сторонами и двумя углами.

В Евклидовой геометрии двуугольник считается вырожденной фигурой, так как его две стороны совпадают.

В сферической геометрии четыре двуугольника образуются при пересечении двух больших окружностей.

Дельто́ид (от др.-греч. δελτοειδής — «дельтовидный», напоминающий заглавную букву дельта) — четырёхугольник, четыре стороны которого можно сгруппировать в две пары равных смежных сторон.

Зи́мний круг — сезонный астеризм в экваториальной части неба. Лучше всего виден зимой (также поздней осенью и ранней весной). Представляет собой восемь звёзд, расположенных вдоль воображаемой окружности, и девятую звезду примерно в её центре. Частично совпадает с астеризмом Зимний треугольник.

Состоит из звёзд — Сириус (α Большого Пса), Процион (α Малого Пса), Поллукс (β Близнецов), Кастор (α Близнецов), Менкалинан (β Возничего), Капелла (α Возничего), Альдебаран (α Тельца), Ригель (β Ориона) по окружности и Бетельгейзе (α Ориона) в центре.

G-астеризм — вариант астеризма. Вместо замыкания кольца от Ригеля к Альдебарану в него включается Беллатрикс (γ Ориона), а Бетельгейзе оказывается конечной точкой астеризма. В этом виде фигура астеризма представляет собой прописную латинскую букву «G».

Многогранник, многоугольник или мозаика является изотоксальным или рёберно транзитивным, если его симметрии действуют транзитивно на его рёбрах. Неформально это означает, что имеется только один вид рёбер у объекта — если даны два ребра, существует параллельный перенос, вращение и/или зеркальное отражение, переводящее одно ребро в другое, не меняя область, занимаемую объектом.

Термин изотоксальный происходит от греческого τοξον, означающего дуга.

Квадра́т — правильный четырёхугольник, то есть четырёхугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Квадрат является одновременно частным случаем ромба и прямоугольника.

Одноугольник (генагон или моногон) — фигура в геометрии представляет собой многоугольник с одним краем и одной вершиной. Обозначается символом <1>. Имеет только одну сторону и только один внутренний угол.

Правильный девятиугольник — это правильный многоугольник с девятью сторонами.

Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Правильный шестиугольник (гексагон) — правильный многоугольник с шестью сторонами.

Прямоугольник — четырехугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

В евклидовой геометрии для того, чтобы четырёхугольник был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три его угла были прямые, тогда четвёртый угол в силу теоремы о сумме углов многоугольника также будет равен 90°. В неевклидовой геометрии, где сумма углов четырёхугольника не равна 360°, прямоугольников не существует.

Ромб (др.-греч. ῥόμβος, лат. rombus, в буквальном переводе: «бубен») — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

В геометрии на плоскости, ромбоид — это параллелограмм, в котором смежные стороны имеют разные длины, и углы не являются прямыми.

Параллелограмм с равными сторонами (равносторонний) называется ромбом, но не ромбоидом.

Параллелограмм с прямыми углами называется прямоугольником, и тоже не является ромбоидом.

Термин ромбоид в настоящее время часто применяется к параллелепипедам, сплошным телам с шестью гранями, где каждая грань — это параллелограмм, и противоположные грани лежат в параллельных плоскостях.

Некоторые кристаллы имеют форму трёхмерных ромбоидов. Эти тела также иногда называют ромбоидными призмами. Термин часто используется в научной терминологии, как в двух-, так и в трёхмерном понимании.

То́чка Лемуа́на (точка пересечения симедиан, точка Гребе, обозначается K <displaystyle K> или L <displaystyle L> ) — одна из замечательных точек треугольника.

В геометрии трёхскатный купол представляет собой один из многогранников Джонсона (J3 = (по Залгаллеру) М4). Купол можно рассматривать как половину кубооктаэдра.

Многогранник Джонсона — один из строго выпуклых многогранников, имеющих правильные грани, но не являющийся однородным (то есть он не является правильным многогранником, архимедовым телом, призмой или антипризмой). Многогранники названы именем Нормана Джонсона, который первым перечислил эти многогранники в 1966 году.

Усечённый октаэдр — полуправильный многогранник, состоящий из 14 граней (8 правильных шестиугольников и 6 квадратов). В усечённом октаэдре 24 одинаковых вершины, в каждой из которых сходятся два шестиугольника и квадрат, а также 24 ребра, каждое из которых разделяет шестиугольник и квадрат, и 12 рёбер, каждое из которых разделяет два шестиугольника. Двойственный к усечённому октаэдру многогранник — преломлённый куб или тетракисгексаэдр.

Для усечённого октаэдра с длиной ребра a <displaystyle a> можно выразить некоторые количественные характеристики:

Представляет собой один из многогранников, замощающих трёхмерное пространство. Ячейка в форме усечённого октаэдра используется при моделировании молекулярной динамики с периодическими граничными условиями для увеличения эффективности вычислений по сравнению с ячейками в форме параллелепипеда.

Центрированные шестиугольные числа – это центрированные фигурные числа, которые представляют шестиугольник с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся в шестиугольной решётке.

n-ое центрированное шестиугольное число задается формулой

n 3 − ( n − 1 ) 3 = 3 n ( n − 1 ) + 1. <displaystyle n^<3>-(n-1)^<3>=3n(n-1)+1.>

Представление формулы в виде

1 + 6 ( 1 2 n ( n − 1 ) ) <displaystyle 1+6left(<1 over 2>n(n-1)
ight)>

показывает, что центрированное шестиугольное число для n на 1 больше чем шестикратная величина (n−1)-го треугольного числа.

Несколько первых центрированных шестиугольных чисел:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919.

Можно заметить, что по основанию 10 последний знак центрированных шестиугольных чисел имеют последовательность 1-7-9-7-1.

Центрированные шестиугольные числа имеют практическое значение управлении логистики, например , в упаковке круглых предметов в больший круглый контейнер, таких как Венские сосиски в круглые банки, или упаковке проводов в кабель.

Сумма первых n центрированных шестиугольных чисел равна n 3 . Таким образом, последовательности центрированных шестиугольных пирамидальных чисел и кубических чисел идентичны, но представляют различные (геометрические) формы. С другой стороны, центрированные шестиугольные числа – это разность двух соседних кубов, так что центрированные шестиугольные числа — это фигурное представление кубов. Также, простые центрированные шестиугольные числа есть кубические простые числа.

Разность (2n) 2 и n-го центрированного шестиугольного числа равна 3n 2 + 3n − 1, а разность (2n − 1) 2 и n-го центрированного шестиугольного числа есть прямоугольное число. [какое?]

Гигантский шестиугольник — не имеющий на сегодняшний день строгого научного объяснения — атмосферный феномен на планете Сатурн. Представляет собой геометрически правильный шестиугольник с поперечником в 25 тысяч километров, находящийся на северном полюсе Сатурна. По всей видимости, шестиугольник является вихрем. Прямые «стены» вихря уходят вглубь атмосферы на расстояние до 100 километров. При изучении вихря в инфракрасном диапазоне наблюдаются светлые участки, представляющие собой гигантские прорехи в облачной системе, которые простираются, как минимум, на 75 километров вглубь атмосферы.

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.

Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

, где — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .

Радиус такой окружности равен .

. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
dvd@ege-study.ru (круглосуточно)

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса — от 3,5 до 4,5 часов.

1. Уравнения (задача 13)
2. Стереометрия (задача 14)
3. Неравенства (задача 15)
4. Геометрия (задача 16)
5. Финансовая математика (задача 17)
6. Параметры (задача 18)
7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум — репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги — 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» — всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.