Проверка второго закона кирхгофа

Лабораторная работа № 2 Линейная электрическая цепь постоянного тока Целью работы является экспериментальная проверка законов Кирхгофа, принципов наложения, взаимности и метода эквивалентного генератора.

Общие сведения

Законы Кирхгофа являются основными законами электрических цепей.

Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами, подходящими к узлу цепи: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю.

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между э. д. с. и напряжениями в контуре электрической цепи: алгебраическая сумма напряжений на пассивных элементах ветвей контура равна алгебраической сумме э. д. с. ветвей этого контура.

Принцип наложения применим к линейным электрическим цепям, и формулируется следующим образом: ток ветви разветвленной линейной электрической цепи с несколькими источниками равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых в этой ветви действием каждого источника в отдельности. Принцип наложения не выполняется для мощностей.

Принцип взаимности справедлив в линейной электрической цепи с одним источником и заключается в следующем: если э. д. с. Е₁= Е, действуя в ветви 1 сколь угодно сложной цепи при отсутствии прочих э. д. с., вызывает в другой ветви 2 ток , то такая же э. д. с. Е₂= Е, действуя в ветви 2, вызовет в ветви 1 ток . Если же э. д. с. Е₁ и Е₂ различны, то соблюдается равенство .

Метод эквивалентного генератора позволяет определить ток в любой ветви линейной цепи, заменив часть цепи (активный двухполюсникА) по отношению к данной ветви эквивалентным генератором, состоящим из э. д. с. Е_Г и внутреннего сопротивления R_Г(рис. 2.1).

Величина Е_Г равна напряжению холостого хода U₀ на разомкнутой ветви : Е_Г=U₀. Сопротивление R_Г можно определить экспериментально из опытов холостого хода и короткого замыкания ветви : R_Г .

Содержание и порядок выполнения работы

Для исследования электрической цепи по схеме рис. 1П протокола измерений используют: источники постоянного напряжения из блока МОДУЛЬ ПИТАНИЯ: э. д. с. Е₁=9 В (UZ1), Е₂=12 В (UZ2); измерительные приборы из блоков МОДУЛЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ постоянного тока. Пассивные элементы электрической схемы выбирают из блока МОДУЛЬРЕЗИСТОРОВ.

· Собрать электрическую цепь по схеме, приведенной на рис. 1П. Рекомендуемые значения R₁=100или 150 Ом; R₂=100, 150, 220 или 330 Ом. При сборке электрической цепи воспользуйтесь схемой соединения модулей из протокола измерений (рис. 2П).

· Проверить собранную электрическую цепь в присутствии преподавателя.

· Включить автоматический выключатель QFблокаМОДУЛЬ ПИТАНИЯ. Включить тумблерSA1 источников э. д. с. UZ1иUZ2.

· Установить величину резистора R₃, при которой напряжение на резисторебудет 4–7 В. Стрелки амперметров PA1, PA2иPA3 блока МОДУЛЬ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЙ должны отклоняться вправо. Величину сопротивления R₃ занести в протокол измерений.

· В протоколе наблюдений указать на схеме замещения положительные направления токов в ветвях, совпадающие с действительными направлениями. В последующих опытах эти направления принять как положительные и при отклонении стрелки амперметра влево, измеренному значению тока приписывать знак минус.

Проверка выполнения законов Кирхгофа

· Измерить величины э. д. с. Е₁источникаUZ1иЕ₂источникаUZ2. Измерить величины токов ветвей и напряжений на сопротивлениях цепи. Все измеренные величины занести в таблицу 1П протокола измерений.

Дата добавления: 2018-08-06 ; просмотров: 92 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

Удивительно не то, как просто всё рассчитывается, когда знаешь два понятных всем правила расчёта — первый и второй Законы Кирхгофа, а то, как гениально это было придумано.

Ведь не было тогда бытовой электрической сети. Куда просто вкрутил лампочку, нажал выключатель, и всё — заработало напряжение, побежал ток, разогрелась спираль лампочки и засиял свет. Вот она, понятная работа электричества. Её нам сейчас ничуть не труднее осознать, чем бурчание воды в отоплении или гудение воздуха в инструменте трубача.

Закон Ома — первый кит электротехники

А когда Георг Симон Ом, изучая гальванические, как тогда называли, цепи, вывел своё простейшее соотношение, этого понять не мог никто, кроме немногих посвящённых. Просто потому, что обыденный мозг тогда сразу упирался в нечто невообразимое, а значит, непреодолимое: что это за течение такое, ток частиц, которых не то что пощупать, но и представить нельзя ввиду абсолютно исчезающей малости. Да ещё «текущих» в металле, твёрдом предмете. Уж не то, что попытаться составлять какие-либо точные формулы.

Теперь это соотношение кажется простым и ясным, как удар молнии. Видимо, он сумел почувствовать это явление — электрическое напряжение. Если цепь разомкнута, то тока ещё никакого нет, ничего не нагревается и не пузырится (как вода под током), а напряжение вот оно — попробуй, тронь! Видимо, как-то сумел гений потрогать и попробовать.

Собственно, вся любая электрическая цепь и описана законом Ома. Источник, дающий напряжение и нагрузка, подставляющая напряжению своё тело, отчего получается электрический ток. Соотношение простейшее — чем больше напряжение, тем больше ток. А конкретно каким он получится, определяет пропускная способность нагрузки, G, или проводимость.

I=U*G

Удобнее и нагляднее оказалось вместо проводимости пользоваться понятием сопротивления, R, величиной обратной проводимости (R=1/G).

И обозначения на первой электросхеме самые простейшие: прямоугольничек — нагрузка, две линии поперёк тока — батарейка.

Самая первая электрическая схема

Видимо, и подключали поначалу что-то одно к чему-то одному. Но вот и эта схема «под напором реальности» усложняется. Во-первых, сама батарейка имеет сопротивление.

Как это изобразить, вот так?

Лучше располагать рядом так:

Есть искушение поставить этот прямоугольничек на другую сторону, рядом с нагрузкой, а нельзя, всё-таки батарейка и её внутреннее сопротивление — одно нераздельное физическое устройство.

Чтобы видеть действие тока, лучше в качестве нагрузки использовать лампочку. Понятно, с выключателем.

Мы получили последовательную цепочку.

Ток во всех её частях обязан быть одним и тем же, то есть одинаковый везде.

Это логично, и если включить выключатель, лампочка сразу загорится.

При этом никто и не задумывается, что если у нас через лампочку течёт ток всего в один ампер, то это значит, что каждую секунду через неё пробегает:

6 квинтиллионов 241 квадриллион 509 триллионов 125 миллиардов 493 миллиона 690 тысяч с небольшим электронов.

И все они вышли из небольшой батареечки и в неё же и вернутся с другой стороны.

Если поставить вместо одной лампочки две одинаковых, то они загорятся вполнакала, то есть ток I, протекающей последовательно из батарейки через выключатель сначала в лампочку Л1, потом в лампочку Л2 и снова в батарейку, станет меньше, чем был, когда стояла одна лампочка.

Это значит, что сопротивление стало больше: было R у одной лампочки, стало R+R, то есть 2R.

Токи и напряжения в сети

Точную величину тока можно подсчитать, если применить закон Ома ко всей нашей цепи, общее сопротивление которой есть сумма сопротивлений всех её нагрузок.

(1) А если оставить в формуле сопротивление только одной лампочки, то, зная, что ток у нас везде один и тот же, можно вычислить напряжение Uл конкретно для этого потребителя, лампочки.

Это напряжение, которое падает именно на нашу лампочку, так и называется «падение напряжения». Оно примерно вдвое меньше нашего напряжения питания U. Примерно — потому что в формуле (1) среди сопротивлений есть ещё небольшой довесок в виде r, внутреннего сопротивления нашей батареи. Что делать, она не идеальна, и вместе со всеми остальными потребляет энергию (свою же собственную) и даже греется от этого. Хотя сопротивление её достаточно малое.

А теперь взглянем на нашу цепь как на единый контур, который можно обходить по часовой или против часовой стрелки. Ток наш идёт, как нарисовано, против часовой стрелки. Двинемся по этому направлению с любого места и пройдём всё, складываем падения напряжения на всех попадающихся по дороге приборах.

Для токов — узлы, для напряжений — контуры

Последним напряжением добавлено то, которое вырабатывается батареей, только со знаком минус, так как оно работает не на потребление, а наоборот, вырабатывается и поставляется в сеть нашей героической батареей. И что у нас получилось?

Правило Кирхгофа для напряжений (2й закон)

А получилось ровно 0. Потому что вся энергия от батареи потребляется лампочками + внутреннее сопротивление батареи. И понятно, это есть высшая справедливость природы. То есть второй закон Кирхгофа в действии.

И вдруг у нас случился… прорыв.

Правило Кирхгофа для токов (1й закон)

К нам в двух точках — А и B — подключились неизвестные, скорее всего, инопланетяне.

И начали качать от нас энергию. И теперь мы знаем, что ток I3 и ток I4 — не наши, они инопланетянские. И наша схема может быть безнадёжно испорчена.

А обойдём ка мы контур снова. Может быть, не всё ещё потеряно. И вот:

U=Uг+Uл1+Uл2.

Потому что I1=I2+I3. И I1=I2+I4.

То есть сколько току вытекло в качестве тока I3 в точке А, столько его и вернулось к нам в точке B в виде тока I4. Высшая справедливость всё-таки восторжествовала. А помогло нам при этом здравое рассуждение, о том, что в любой точке цепи, где электрическая сеть разветвляется, общее количество тока, вытекающего из узла, то есть этой точки, равно количеству тока, втекающего в этот узел. Поэтому смело рисуем схему, зная, что нам помог уже первый, а не второй закон Кирхгофа:

Почему-то оказалось, что токи I3 и I4 оказались точно равными -I1, и значит… наши лампочки загорелись полным накалом.

Ох уж эти выдумки инопланетянские! С нашей стороны осталось только в схеме поставить стрелочки токов (и ЭДС у источника ЭДС Eин) в противоположное направление. Потому что мы сначала подумали, что инопланетяне плохие, а они оказались хорошими.

Расчёт цепи по законам Кирхгофа интуитивно понятен — правила позволяют рассчитывать электрические цепи, то есть определять все неизвестные параметры — токи, напряжения — любой, сколь угодно замысловатой цепи.

Применение законов Кирхгофа для расчёта сложных цепей

Цепь состоит из ветвей, соединяющихся в узлах. Ветвь — это несколько последовательно соединённых электрических приборов. В узлах могут соединяться три и более ветвей. Это значит, что через узел проходят токи, выходящие из ветвей, которые в нём соединяются.

Ну и теперь, вооружившись проверенными нами базовыми законами электротехники, решим пример, зная, что всё и для любой электрической цепи решаемо.

Смело решаем задачу.

Путь таков:

1. Составляются уравнения для токов в узлах — работает первый закон Кирхгофа. Составляются уравнения для падений напряжений по всем независимым контурам — дело второго закона Кирхгофа.
2. Уравнения сводятся в систему и решаются методами математики для системы из N линейных уравнений с N неизвестными.
3. Делается проверка решения другим способом, например, подсчётом общей мощности сети

Составляем уравнения для токов, втекающих/вытекающих в узлы. Узлов сего три, значит, уравнений будет 3-1, то есть два.

Теперь составляем уравнения для контуров и падений напряжения в них. Контуров у нас независимых три (в которых в каждом есть хотя бы одна ветвь, не встречающаяся в других).

Вот и получается три уравнения по второму закону Кирхгофа: Собрав все пять уравнений вместе, получаем систему из пяти уравнений с пятью неизвестными.

Остальное — дело королевы наук, то есть математики. Такие системы она щёлкает не глядя.

И получаются вполне похожие на правду ответы:

А мы знаем, хорош тот ответ, который поддаётся проверке.

Сделаем-ка мы расчёт мощности, выделяемой на всех устройствах данной схемы при полученной нами картине токов и напряжений двумя способами, пользуясь немного разными определениями для мощности:

• мощность как произведение тока на напряжение
• мощность, как квадрат силы тока, умноженный на сопротивление

Как видим, всё у нас правильно, задача нашего непростого примера решена.

Закон Кирхгофа (правила Кирхгофа), сформулированные Густавом Кирхгофом в 1845 году, являются следствиями из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля.

Закон Кирхгофа – это соотношения, выполняемые между токами и напряжениями на участках любых электрических цепей. Они позволяют рассчитывать любые электрические цепи: постоянного, переменного или квазистационарного тока.

При формулировании правил Кирхгофа используют такие понятия, как ветвь, контур и узел электрической цепи.

• Ветвь – участок электрической цепи с одни и тем же током.
• Узел – точка соединения трех или более ветвей.
• Контур – замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей разветвлённой электрической цепи.

При обходе надо учесть, что ветвь и узел могут одновременно принадлежать нескольким контурам. Правила Кирхгофа справедливы как для линейных, так и для нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений. Правила Кирхгофа широко применяются при решении задач электротехники за счет легкости в расчетах.

1 закон Кирхгофа

В цепях, состоящих из последовательно соединенных источника и приемника энергии, соотношения между током, сопротивлением и ЭДС всей цепи или на каком-либо участке цепи определяются законом Ома. Но на практике в цепях токи от какой-либо точки идут по разным путям (Рис. 1). Поэтому становиться актуальным введение новых правил для проведения расчетов электрических цепей.

Рис. 1. Схема параллельного соединения проводников.

Так, при параллельном соединении проводников начала всех проводников соединены в одну точку, а концы проводников – в другую точку. Начало цепи присоединяется к одному полюсу источника напряжения, а конец цепи – к другому полюсу.

Из рисунка видно, что при параллельном соединении проводников для прохождения тока имеется несколько путей. Ток, протекая к точке разветвления А, растекается далее по трем сопротивлениям и равен сумме токов, выходящих из этой точки: I = I1 + I2 + I3.

Согласно первому правилу Кирхгофа алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным.

Запишем первый закон Кирхгофа в комплексной форме:

Первый закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла. То есть, сколько тока втекает в узел, столько же вытекает (как следствие закона сохранения электрического заряда). Алгебраическая сумма – это сумма, в которую входят слагаемые со знаком плюс и со знаком минус.

Рис. 2. i_1+i_4=i_2+i_3.

Рассмотрим применение 1 закона Кирхгофа на следующем примере:

• I1 – это полный ток, текущий к узлу А, а I2 и I3 — токи, вытекающие из узла А.
• Тогда мы можем записать: I1 = I2 + I3.
• Аналогично для узла B: I3 = I4 + I5.
• Пусть, что I4 = 5 А и I5 = 1 А, получим: I3 = 5 + 1 = 6 (А).
• Пусть I2 = 10 А, получим: I1 = I2 + I3 = 10 + 6 = 16 (А).
• Запишем подобное соотношение для узла C: I6 = I4 + I5 = 5 + 1 = 6 А.
• А для узла D: I1 = I2 + I6 = 10 + 6 = 16 А
• Таким образом мы наглядно видим справедливость первого закона Кирхгофа.

2 закон Кирхгофа

При расчете электрических цепей в большинстве случаев нам встречаются цепи, образующие замкнутые контуры. В состав таких контуров, кроме сопротивлений, могут входить ЭДС (источники напряжений). На рисунке 4 представлен участок такой электрической цепи. Произвольно выбираем положительные направления токов. Обходим контур от точки А в произвольном направлении (выберем по часовой стрелке). Рассмотрим участок АБ: происходит падение потенциала (ток идет от точки с высшим потенциалом к точке с низшим потенциалом).

• На участке АБ: φА + E1 – I1r1 = φБ.
• БВ: φБ – E2 – I2r2 = φВ.
• ВГ: φВ – I3r3 + E3 = φГ.
• ГА: φГ – I4r4 = φА.
• Складывая данные уравнения, получим: φА + E1 – I1r1 + φБ – E2 – I2r2 + φВ – I3r3 + E3 + φГ – I4r4 = φБ + φВ + φГ + φА
• или: E1 – I1r1 – E2 – I2r2 – I3r3 + E3 – I4r4 = 0.
• Откуда имеем следующее: E1 – E2 + E3 = I1r1 + I2 r2 + I3r3 + I4r4.

Таким образом, получаем формулу второго закона Кирхгофа в комплексной форме:

Уравнение для постоянных напряжений – Уравнение для переменных напряжени –

Теперь можем сформулировать определение 2 (второго) закона Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура, равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур. В случае отсутствия источников ЭДС, суммарное напряжение равно нулю.

Иначе формулируя второе правило Кирхгофа, можно сказать: при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к начальному значению.

При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура, при этом падение напряжения на ветви считается положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, в противном случае – отрицательным.

Определить знак можно по алгоритму:

• 1. выбираем направление обхода контура (по или против часовой стрелки);
• 2. произвольно выбираем направления токов через элементы цепи;
• 3. расставляем знаки для напряжений и ЭДС по правилам (ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура со знаком «+», иначе – «-»; напряжения, падающие на элементах цепи, если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, со знаком «+», в противном случае – «-»).

Закон Ома является частным случаем второго правила для цепи.

Приведем пример применения второго правила Кирхгофа:

По данной электрической цепи (Рис 6) необходимо найти ее ток. Произвольно берем положительное направление тока. Выберем направление обхода по часовой стрелке, запишем уравнение 2 закона Кирхгофа:

Знак минус означает, что выбранное нами направление тока противоположно его действительному направлению.

Решение задач

1. По приведенной схеме записать законы Кирхгофа для цепи.

Дано:

Решение:

Дано: R1 R2 R3 E1 E2 I1 – ? I2 – ? I3 – ?

Используя первый закон Кирхгофа, запишем уравнение для цепи. Сумма токов сходящихся в узле равна нулю. Примем входящие токи положительными, а выходящие отрицательными. Тогда: Используя второй закон Кирхгофа составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода произвольны, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, знак «+», если иначе, то «-». С источниками ЭДС так же. Для первого контура токи I1 и I3 совпадают с направлением обхода, ЭДС Е1 также совпадает, то есть берем их со знаком «+». Для первого и второго контуров по второму закону Кирхгофа получаем следующие уравнения: Таким образом, получаем систему из трех уравнений, являющуюся решением задачи:

2. На рисунке приведена цепь с двумя источниками ЭДС величиной 12 В и 5 В, с внутренним сопротивлением источников 0,1 Ом, работающих на общую нагрузку 2 ома. Как будут распределены токи в этой цепи, какие они имеют значения?.