Частота двойного пружинного маятника

1. Жесткость пружинного маятника 8000 Н/м. Чему равен период и частота его колебаний?

2. Два одинаковых пружинных маятника колеблются с амплитудами – 3 и 6 см. Как различаются периоды их колебаний?

3. Пружинный маятник совершил 15 колебаний за одну минуту. Каковы период и частота колебаний?

4. Координаты пружинного маятника изменяются по закону

Чему равны амплитуда, период и частота колебаний. В формуле все величины выражены в системе СИ.

Краткая теория:

Пружинный маятник – это груз, колеблющийся на пружине. Он соверщает возвратно-поступательное движение. Пружинный маятник подчиняется законам движения, по которым можно определить период его колебаний, зная массу груза и жесткость пружины. Период колебаний пружинного маятника не зависит от места его расположения и амплитуды колебаний.

Формулы для решения :

Алгоритм решения типовой задачи:

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически. На рисунке обозначаем необходимые данные: силы, действующие на маятник, направление его движения и другие.
2. Записываем основную формулу для определения периода колебаний пружинного маятника и другие необходимые формулы колебательного движения. Определяем, какие величины надо найти из других механических соотношений, записываем их.
3. Решаем полученные уравнения в общем виде.
4. Подставляем данные, вычисляем. Перед подстановкой переводим все данные в единую систему.
5. Записываем ответ.

Примеры решения:

Задача 1.

Масса груза пружинного маятника 0,5 кг, жесткость пружины 8000 Н/м. Чему равен период и частота его колебаний?

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.

2. Записываем основную формулу для определения периода колебаний пружинного маятника и соотношение между периодом и частотой колебаний.

3. Решаем полученные уравнения в общем виде. Формулы сразу дают общее решение.

4. Подставляем данные, вычисляем.

5. Ответ: Частота колебаний примерно 20 герц, их период – 0,05 секунды.

Задача 2.

Два одинаковых пружинных маятника колеблются с амплитудами – 3 и 6 см. Как различаются периоды их колебаний?

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.

2. Записываем основную формулу для определения периода колебаний пружинного маятника.

3. Решаем полученные уравнения в общем виде.

4. Подставляем данные, вычисляем.

5. Ответ: Период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды.

Задача 3.

Пружинный маятник совершил 15 колебаний за одну минуту. Каковы период и частота колебаний?

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.

2. Частота колебаний – это их количество в единицу времени. Единица времени в системе СИ – секунда. Значит, надо просто найти количество колебаний в секунду. Для этого количество колебаний в минуту надо разделить на 60, так как в минуте 60 секунд.

Читайте также:  Штревель что это такое

Период – величина, обратная частоте.

3. Решаем полученные уравнения в общем виде. Формулы сразу дают общее решение.

4. Подставляем данные, вычисляем.

5. Ответ: период колебаний равен 4 секундам, их частоту – 0,25 герца.

Задача 4.

Координаты пружинного маятника изменяются по закону

Чему равны амплитуда, период и частота колебаний. В формуле все величины выражены в системе СИ.

1. Кратко записываем условие, изображаем его графически.

2. Записываем общее уравнение гармонического колебания. Сравниваем заданное уравнение движения маятника с общим уравнением.

3. Из сравнения получаем:

Отсюда легко вычисляется частота и период колебаний.

4. Подставляем данные, вычисляем

5. Ответ: Амплитуда колебаний равна 0,5 метра, период – четырем секундам, частота – 0,25 Гц.

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

.

В этом соотношении – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:

.

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .

Таким образом, груз некоторой массы , прикрепленный к пружине жесткости , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .

Рисунок 2.2.1.

Круговая частота свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

откуда

Частота называется собственной частотой колебательной системы.

Период гармонических колебаний груза на пружине равен

При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину , равную

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты и периода колебаний справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела и координатой : ускорение является второй производной координаты тела по времени :

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

или

(*)

где

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

Читайте также:  Как узнать сечение кабеля по диаметру жилы
m cos .

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний или период . Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда m и начальная фаза , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние и затем в момент времени отпущен без начальной скорости, то m = , .

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость то

Таким образом, амплитуда m свободных колебаний и его начальная фаза определяются начальными условиями .

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол возникает момент сил упругой деформации кручения:

.

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина аналогична жесткости пружины . Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. §1.23)

где – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, – угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

Примерами гармонических колебаний служат колебания пружинного и математического маятников.

Пружинный маятник — тело массой т, колеблющееся на упругой пружине (рис. 5.5) и совершающее гармонические колебания под воздействием упругой силы:

где к — жесткость пружины.

Закон движения пружинного маятника:

где а — угол отклонения маятника от положения равновесия; а — амплитуда колебаний (максимальное значение угла отклонения).

При последовательном соединении пружин (рис. 5.5, б) общий коэффициент жесткости

При параллельном соединении пружин общий коэффициент жесткости (рис. 5.5, в)

Круговая (циклическая) частота:

Кинетическая энергия пружинного маятника:

Потенциальная энергия пружинного маятника:

Полная энергия пружинного маятника:

На рис. 5.6, а представлен график зависимости потенциальной энергии Еп пружинного маятника от деформации х, где Е — полная энергия (прямая горизонтальная линия), кинетическая Ек и потенциальная Еп энергии заданы соответствующими отрезками ординат. Из рисунка следует, что с возрастанием деформации х потенциальная энергия маятника возрастает, кинетическая — уменьшается (и наоборот). В отсутствие трения полная энергия тела сохраняется (Е = Ек + Еи) при любых значениях х

Если маятник движется вверх с ускорением а (или вниз с замедлением а), его период

Читайте также:  Станок для гибки уголка

Если маятник движется с ускорением а в горизонтальном направлении, его период

Кинетическая энергия математического маятника:

Потенциальная энергия математического маятника:

Превращение энергии при гармонических колебаниях происходит в соответствии с законом сохранения энергии в консервативной системе:

При движении пружинного маятника от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая уменьшается (см. рис. 5.6, а). Когда маятник проходит положение равновесия (? = 0), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия маятника максимальна и равна полной энергии. В состоянии максимального отклонения от положения равновесия скорость маятника равна нулю, следовательно, равна нулю и кинетическая энергия, а потенциальная — максимальна и равна полной энергии. Следовательно, в момент максимального отклонения и когда маятник проходит положение равновесия имеет место:

Приведенные сведения об энергии колебаний пружинного маятника имеют общее значение и справедливы для свободных гармонических незатухающих колебаний в любой колебательной системе.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешней, периодически действующей силы.

Вынужденные колебания совершают, например, игла швейной машины, нож электробритвы, поршень в цилиндре двигателя внутреннего сгорания и др.

Вынуждающая сила — сила, вызывающая вынужденные колебания.

Если вынуждающая сила меняется гармонически по закону F = Fmaxcos(ot (Fmax — амплитуда вынуждающей силы, со — ее циклическая частота), то в колебательной системе, на которую действует эта сила, через определенное время (соответствует переходному режиму) устанавливаются гармонические вынужденные колебания с частотой, равной частоте со вынуждающей силы (рис. 5.8).

Уравнение вынужденных колебаний:

где А — амплитуда вынужденных колебаний; ю — циклическая частота свободных незатухающих колебаний системы; ср — разность фаз между смещением х и вынуждающей силой F. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний:

где Fmax — амплитуда вынуждающей силы; т — масса колеблющейся системы; со — циклическая частота внешней силы; г —

коэффициент сопротивления; (3 =–коэффициент затуха-

Для вынужденных колебаний характерно явление резонанса.

Разность фаз между смещением и вынуждающей силой:

Резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте ш колебаний системы. Соответственно величина а>рсз называется резонансной циклической частотой, а кривые зависимости А от оз — резонансными кривыми (рис. 5.9).

Резонансная циклическая частота и резонансная амплитуда:

Возрастание амплитуды вынужденных колебаний при резонансе выражено тем отчетливее, чем меньше трение в системе (Р —*? 0). На практике амплитуда А в точке со конечна за счет сопротивления среды (р| > р2 > Ро), поэтому с ростом резонансная частота сдвигается в сторону меньших частот, а резонансная амплитуда — понижается (Арез1

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector